嗯，好的，非常好。那么，我们开始第三讲。
如果你还记得，上次我们讨论了全息原理。我们是从一个非常非常基础的层面开始的，在第一讲中，我们介绍了黑洞热力学以及黑洞所满足的所有这些有趣的定律。
然后，上次我们开始通过黑洞热力学来讨论全息原理。我们回顾了't Hooft的论证，他基本上是说，如果你认真对待黑洞熵（它与视界面积成正比），这就表明黑洞的自由度某种程度上位于其表面上。然后你可以证明，在一个时空区域内的黑洞比该区域内的任何其他东西都拥有更多的熵。这意味着，一个时空区域内的任何引力现象都可以由该区域边界上的这些自由度来描述。
这就是全息原理背后的基本思想，而't Hooft的论证在某种程度上非常根本地触及了引力坍缩等的属性。它非常普适，但也确实很模糊。它没有告诉你任何关于……所以这个想法是，从根本上说，量子引力的自由度比其经典极限所显示的要少。它是一个非局域理论，其自由度某种程度上生活在我们所描述区域的表面上，或者说其数量与表面上的一个局域理论中的自由度数量相当。
好的。我们讨论了这个论证，然后全息原理的美妙之处在于，在't Hooft提出论证几年后，出现了一个非常精确的例子，或者说一系列非常精确的全息例子，被称为AdS/CFT对应。接着我们……好的，我们讲了这个，然后我们在弦理论的框架内讨论了AdS/CFT。
我只是非常模糊地勾勒了一下论证的思路，因为它美妙的地方在于，它是一个实际的推导，并且向你展示了这种非凡的现象是如何可能发生的。这个推导与弦理论中这些膜的两种不同图像有关。一个是膜的堆叠，另一个是几何。你取这个低能解耦极限，然后你发现这两种低能描述必须是相同的。在这里，它是一些杨-米尔斯理论，所以是四维的规范理论。在这里，它是引力。也就是在AdS$_5$ $\times$ S$^5$空间上的IIB型弦理论。
当然，不教弦理论或类似的东西，就很难具体理解这个论证是什么。但我把它讲给你听，只是为了向你展示弦理论有能力告诉你，某些物体存在这种非凡的描述，然后你实际上可以推导出这样非凡的例子，其中一个完全没有引力的理论，应该与另一个在不同维度下且有引力的理论是相同的。
我想让你们……顺便说一下，因为有人问我，如果你们想阅读关于弦理论中的AdS/CFT，我认为标准的参考文献，也是我认为最好的，是所谓的MAGOO综述，hep-th/9905111，作者是Aharony, Gubser, Maldacena, Ooguri和Oz。
我想告诉你们，这里有一个推导过程，我也希望你们能从这个弦理论内部推导的简述中吸取一些教训，这些教训对我将要讲的内容很重要。一个教训是，AdS/CFT对应是一个强弱耦合对偶。
所以，实际上，有谁能告诉我强弱耦合对偶指的是什么吗，如果他们还记得上次课的内容？
（学生回答）“在弱耦合和强耦合区域，两边都……其中一边比另一边更容易进行计算，但两边都有等价的描述。所以我们可以用更容易的计算方法来得到答案。”
好的，我没能完全听清你的话，但我想你说的内容是正确的。的确，这就是当一边是弱耦合时，比如当你可以应用微扰描述时，另一边就是强耦合的。好的，所以重要的是取N很大，让我们取N很大。这边在有限N时有意义，但另一边我们不知道如何在有限N时理解它，我们只知道如何在N很大时理解它。因为N的某个次幂是 $L_{AdS} / l_s$，我想是四分之一次幂。所以我们希望这个，为了不遇到我们完全不知道如何处理的量子引力问题，我们需要取这个N非常大。所以我们将永远处于N很大的情况。但是，我们在这里有一个耦合的概念，就是't Hooft耦合 $\lambda = g_{YM}^2 N$。当这个家伙在N很大时是弱耦合的，另一边就是高度弦性的。所以它不是量子引力，但它是非常高度弦性的，光滑大时空的概念在某种程度上正在失效，你需要做弦理论，而你知道那不总是那么简单，虽然有一些结果。反之亦然，当这个家伙是弱耦合的，所以你可以在这边做引力，就是经典引力或经典超引力，那么这个家伙就是高度强耦合的。好的，非常好。
然后我们讨论了UV/IR对应。有谁记得UV/IR指的是什么吗？
（学生回答）“就像……时空的紫外（UV）等价于CFT的红外（IR），反之亦然。”
完全正确。所以在某种意义上，好的。然后我们讨论了AdS时空以及CFT应该大致生活在哪里。所以CFT生活在闵可夫斯基时空上，这直接来自这个论证。如果你记得，我们讨论了这个反德西特（AdS）时空。我们讨论了全局坐标和庞加莱坐标，在庞加莱坐标中，度规看起来像这样：
其中z是径向坐标，并且在AdS边界处$z \to 0$。仅仅因为CFT生活在平坦空间中，我们可以认为它生活在AdS的边界上，然后从那个角度看，CFT，我可以认为它在这里，CFT的紫外（UV）对应于体（bulk）中靠近边界的大距离，而CFT的红外（IR）对应于体内部的深处。所以从这个意义上说，径向方向就是CFT中的能量标度。
好的，非常好。所以你们有了这些概念。在我进入今天的材料之前，关于上次课的内容，你们还有其他问题吗？
看来答案是没有。
所以，今天我们要做的……好的，上次我们还做了这个。是的，上次我们开始讨论反德西特时空，对吧？我们讨论了真空反德西特，完全空的反德西特，然后是AdS$_{d+1}$，这是一个最大对称时空。你还记得它的等距群是什么吗？那是基灵矢量的代数，然后是我……时空的有限变换。好的，也许这个可以很容易地揭示出来。它是$SO(d, 2)$。
所以，现在我要做的，是开始讨论共形场论（CFTs）。我将要讨论它们拥有完全相同的对称性代数这一事实，好的？除了在$d=2$时有一个例外，我们将讨论它。然后我将介绍AdS/CFT字典的基础。我不知道我是否有时间，我会讲一下BTZ黑洞的熵匹配，但我认为很可能我没有时间，这已经和组织者讨论过了。
好的。那么，首先，让我谈谈共形场论，简称CFT。好的，我们将在d维空间中进行讨论。
有人知道什么是CFT吗？
（学生回答）“它是一个在标度变换下不变的场论。”
只有标度变换吗？
（学生回答）“嗯，更一般地……”
是的。好的。非常好。但是标度，标度，我同意，是最重要的。好的。
的确，正如你的同学所说，CFTs是在共形变换下保持不变的量子场论。
好的。什么是共形变换？共形变换是一个坐标变换，它使度规保持不变，只差一个总体的缩放因子。好的。
所以我们可以讨论度规的等距变换，对吧？那些使度规保持不变。共形变换则使其在差一个总体标度的情况下不变。所以如果我们做无穷小变换，那么在$x^\mu \to x^\mu + \xi^\mu$下，$\delta g_{\mu\nu}$等于（也许我想要一个负号，符号无所谓）$\partial_\mu \xi_\nu + \partial_\nu \xi_\mu$，我们希望它对于某个固定的度规$g_{\mu\nu}$是成比例的。我将取这个固定的度规为$\eta_{\mu\nu}$。
好的。实际上，你可以通过取迹来固定这个比例常数。所以它是 $\frac{2}{d} g_{\mu\nu} \partial_\lambda \xi^\lambda$。
好的。所以，基本上我们必须解这个关于$\xi$的方程，来找到我们最喜欢的度规（也就是$\eta_{\mu\nu}$）的所有所谓的共形基灵矢量。这些被称为共形基灵矢量。
嗯，好的，有一些操作可以做。你可以取这个家伙，把这整个东西叫做$f(x)$，然后通过对这个方程求各种额外的导数，你可以证明你可以得到以下方程：$(d-2) \partial_\mu \partial_\nu f(x)$……所以$f$只是$\xi$的散度，等于$-\eta_{\mu\nu} \Box f$。实际上我应该只使用标准符号，因为这是一个真正的平坦空间。好的，这里有几个操作步骤。
现在你有两种情况。如果$d > 2$，那么基本上你能解这个方程的唯一方式是如果这边是零，我是说这边是零，然后最通解是$f$……我将称之为……最通解是常数加上某个线性于$x$的项，我把我的常数写成方便的形式。
好的，所以$f$是$\xi$的散度，你从这里得到的最一般的$\xi$是：
这里$a_\mu$是常数，$\omega_{\mu\nu}$是反对称的。
好的。这是关于$\xi$的最通解。这是一个无穷小坐标变换的最通解，它使得闵可夫斯基度规仅仅被一个总体因子重新标度。
我做的事情清楚吗？嗯。好的。那么，问题是，你们能认出这些东西是什么吗？
这个家伙的有限形式，所以这是无穷小的，有限形式看起来像这样：
当然，平移的有限形式就是$x' = x + a$，这个家伙（洛伦兹变换）就变成了完整的洛伦兹旋转矩阵。你可以检验，当你取$b$无穷小时，上面这个表达式线性化后就得到之前的形式。
好的，那么什么是特殊共形变换呢？就像你的同学一开始说的那样，CFTs一个非常非常重要的属性是它们具有这种标度不变性，这就是为什么它们出现在物理学中非常多的实例中，就是因为这种尺度的缺失。所以当你在物理学中遇到一种没有尺度的情况时——而这些情况出现在非常不同的领域。它们出现在统计物理中的连续相变中。它们可以出现在量子场论的非常高的能量下，你高于所有的尺度，或者非常低的能量下。所以你将拥有这种标度不变性。
严格来说，共形场论被定义为在这些特殊共形变换下也是不变的。文献中有一个非常有趣的问题，即标度不变性（仅仅是在这个变换下的不变性）是否意味着共形不变性。共形不变性显然更强，有更多的对称性。如果在你的理论上施加足够多的假设——在二维情况下，如果你的理论是幺正的并且满足一些其他的技术性假设，这是成立的。在更高维度，有更多的争论，但它似乎在大多数情况下是成立的，但可能也有反例。所以这就是为什么最好将CFT定义为在所有这些变换下都不变的理论。
好的。这是更高维的CFT。它们拥有所有这些，我们可以数一下。这里我们有d个平移。洛伦兹变换将有$d(d-1)/2$个。标度变换有1个，这些家伙（特殊共形变换）有d个。总数是，你可以把它们加起来，是$(d+1)(d+2)/2$。好的，这就是代数的维度。
如果你在$d=2$的情况下，会发生一些特殊的事情，因为你看这个项实际上左手边是零。所以你只是在解$\Box f = 0$。而在二维中，如果我用光锥坐标写$\eta_{\mu\nu}$，我可以写成$dx^+ dx^-$，其中$x^{\pm}$是时空坐标的组合，那么这个方程就仅仅是$\partial_+ \partial_- f = 0$。解是……嗯，这是关于迹的。
最终，$\xi$将会是某个……这是一个不同的f，让我称它为$k_+(x^+) v_+$，即$x^+$的任意函数，加上$x^-$的任意函数。
那么在二维空间中，有多少个共形对称性？在这两个任意函数中，有多少个独立的变换？一个$x^+$的函数和一个$x^-$的函数。无穷多。是的，无穷多。你在这里有一个无穷大，在这里有另一个无穷大。好的。所以这就是二维的特殊之处。二维非常美妙。它有无穷多个……当然这些是经典的，在量子力学中你必须更小心一点。
好的，非常好。这就是CFTs的定义，正如我所说，它们在量子场论、统计物理和凝聚态物理中随处可见。它们在相变中非常重要，因为在相变点你没有尺度。我还应该说，对于量子场论，它们作为重整化群流（RG flow）的不动点出现。所以你可能在紫外（UV）端有它们。有些人或者这可能是一个标准的定义，喜欢把一个局域量子场论看作是，你在UV端有一个共形场论，然后你给它加上某种相关的算符。所以它的维度小于d，这会触发一些RG流，而你的QFT就坐落在这里的某个地方，沿着你的RG流。这就是局域量子场论的一个定义。所以如果你一直走到UV端，你会发现一个标度不变的理论，一个CFT，它控制着UV行为。
但有时你也可以在红外（IR）端找到它们。所以你也可能有一个流向IR端CFT的情况。好的。所以它们可以在两个地方都出现。我强调这一点是因为，当我们讲到TTbar时，那还有很长的路要走，我们将真正地玩弄理论的这种UV行为。这就是我们将要做的。这就是TTbar与标准局域理论不同的地方。
好的。我想在继续之前说的另一件小事是，有另一个相关的对称性，但它不完全相同，叫做怀尔不变性。怀尔不变性是，你考虑一个定义在某个背景度规上的理论，当你把$g_{\mu\nu}$变成某个$x$的函数乘以$g_{\mu\nu}$时，它是不变的。
这就是怀尔不变性。它的一个很好的推论是，如果你有一个在这种变换下不变的理论，那么能动量张量的迹就是零。这很容易看出，因为你知道$\delta S$通常是，当你改变度规时，根据定义$\delta S = \int d^dx \sqrt{-g} T^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$。但在这里$\delta g_{\mu\nu}$正比于$g_{\mu\nu}$，比例因子是$\Omega^2$（或者说无穷小变化是$2\delta\Omega g_{\mu\nu}$）。所以你看到$\delta S = 0$意味着能动量张量的迹是零。
你可以看到，如果你考虑在平坦空间中的这种怀尔不变性，它意味着共形不变性。因为我们在共形不变性中做的是，我们将它与一个坐标变换结合起来，你可以用一个坐标变换和怀尔缩放来回到自身。所以怀尔不变性比共形不变性更强。然而，这是推导出$T^\mu_\mu=0$最简单的方法。当你只有共形不变性时，它要弱一点，我不想深入讨论那个，但基本上要记住，我们通常认为CFTs也是怀尔不变的，然后你应该认为它们的能动量张量的迹为零。好的，这就是它们的特殊之处。
利用这一点，你可以很容易地构造出与各种共形变换相关的守恒流。如果你引入$J^\mu = T^{\mu\nu} \xi_\nu$，其中$\xi_\nu$是一个共形矢量，你立刻会看到$\partial_\mu J^\mu$是守恒的，对吗？因为它是$\partial_\mu T^{\mu\nu} \xi_\nu + T^{\mu\nu} \partial_\mu \xi_\nu$。
好的。你怎么看这个东西是守恒的呢？首先，因为能动量张量是守恒的，所以第一项是零。其次，如果这是一个共形基灵矢量，那么它满足共形基灵方程。首先你利用$T^{\mu\nu}$是对称的这个事实来写出这个，而这又正比于$\eta_{\mu\nu}$，因为$\xi$是一个共形矢量，这给了你$T$的迹，也就是零。好的。所以你立刻看到这些就是与变换相关的守恒流。
到目前为止有什么问题吗？一切都清楚吗？嗯。好的。很好。
非常好。现在，我可以计算这些共形生成元的代数。我们有共形生成元，我将称它们为$P_\mu$（平移）、$M_{\mu\nu}$（洛伦兹）、$D$（标度变换）和$K_\mu$（特殊共形变换）。这两个家伙（$P_\mu, M_{\mu\nu}$）你已经知道了，它们构成了庞加莱代数，我就不写了。
你得到的新对易子是：
其余的只是说，$K_\mu$在洛伦兹变换下像一个矢量一样变换，我就不写下来了。好的，你从这里可以看到，$P_\mu$提高了$D$的本征值，对吧？而$K_\mu$降低了它。所以如果你开始作用于一个有确定$D$本征值的态，那么$P_\mu$作用于那个态的本征值将是原来的值加一，而$K_\mu$作用于它的本征值将是原来的值减一。清楚吗？是的，我想你从角动量表示中也能得到这个。好的。我假设这没问题。
当我们看完整的代数时，它原来是$so(d, 2)$。所以完整的群是$SO(d, 2)$。看，这个群就是AdS$_{d+1}$的等距群。好的。我们上次做过这个。好的。正如我所说，这里我们比较的是一个理论及其真空态的对称性，因为我们假设真空是$SO(d, 2)$不变的，与AdS中真空态的对称性相比较，它们是相同的，这很好。但在二维情况下，我们将得到更多的东西。
接下来我想理解……人们可以尝试理解这些共形生成元是如何作用于局域算符的。
这个理论是一个量子场论。它有一些算符$O(x)$，当然还有$x^\mu$，你可以把这个$O(x)$写成在零点的算符的平移：
然后，基本上如果你想知道各种共形生成元如何作用于$O(x)$，知道那些稳定点$x=0$的元素如何作用于$O(0)$就足够了。那么，哪些共形生成元稳定点$x=0$呢？平移会稳定点$x=0$吗？它们让它保持不变吗？不。所以，实际上是生成元……但是标度变换会，$x \to \lambda x$。好的。
所以我们看的是标度变换、$D$（它让零点不变）、特殊共形变换（我擦掉了，但记得它类似于$x'^\mu = \dots$它们也让零点不变）和洛伦兹变换$M_{\mu\nu}$的作用的表示。
所以你基本上想看这个群的这部分在$O(0)$上的表示。将标度变换对角化是一个很好的想法。所以你想看在零点的算符，在标度变换下，它们只是获得某种缩放因子。所以你想看所谓的标度算符。这些算符，$O'(x')$，其中$x' = \lambda x$，（到处都有索引）是$\lambda^{-\Delta} O(x)$。好的。它们在时空坐标的标度变换下以一个特定的权重$\Delta$进行变换。这来自于$[D, O(0)] = i\Delta O(0)$。
所以我们想看那些对角化了标度变换作用的算符。而且，正如我之前提到的，$K_\mu$降低了$D$的本征值。所以这是一个好主意，因为它在降低它，你知道，如果它不在某个点停止，你就会一直到负无穷，这听起来不像一个很好的谱。所以你假设你将有一个算符，被称为主算符，它满足$K_\mu O(0) = 0$。它在那个表示中有点像最低权重算符。好的。
所以从这个主算符开始，你总是可以作用$P_\mu$，它是一个提升算符，它提升$D$的本征值，来构造所谓的后代算符。实际上对于共形群，你可以构造无穷多个后代。好的。你可以用这个$P_\mu$的任意次幂作用，带收缩等等，你将生成一个从这个算符$O$开始的无限塔。好的，这个东西被称为共形族。
我还想说什么呢……当然，这个主算符在洛伦兹群下也会有一些变换性质，所以它可以是一个标量，可以是一个矢量，或者其他东西。所以你必须指定这一点。而后代，正如我说的，是通过作用$P_\mu$得到的，所以那当然会增加自旋，所以你将有各种自旋表示随之而来。
这个无限共形族的所有成员都具有相同的共形卡西米尔算符的本征值。所以有一个方法可以将所有这些生成元打包成一些明显的$so(d, 2)$协变生成元，我称之为$J_{AB}$。共形卡西米尔算符基本上是$J_{AB}J^{AB}$的收缩，它的性质是它与所有这些生成元对易。好的。所以当你构建一个后代时，它将具有与主算符相同的共形卡西米尔值。特别地，如果你的主算符是一个标量，那么共形卡西米尔值是$\Delta(\Delta - d)$。这是那个标量主算符的表示的一个不变量。
到目前为止都好吗？有什么问题吗？
（学生提问关于对角化D和后代算符）
是的。我想说的是，首先你想看在零点的算符，然后你想写出……你想看标度变换$D$、$K_\mu$和$M_{\mu\nu}$在这个零点算符上的作用，因为至少它们让它在那里。然后，看那些对角化$D$的作用的算符是很好和自然的想法。这就是我们所说的标度算符。这是一个定义。然后一旦你做了那个，你注意到$P$提高了$D$的本征值，而$K$降低了它，这直接从对易关系中得出。因此，你期望有一个最低$D$的态，因为如果你取某个态然后用$K_\mu$作用很多很多次，你不想最终到达负无穷，所以在某个点这个过程应该停止，你把那个它停止的算符，即$K_\mu$作用于$O(0)$等于零的算符，称为主算符。这又是一个定义。这是一个变换性质特别好的算符。一旦你有了这个主算符，你就可以通过作用这些提升算符来构建所谓的后代。你可以构建无穷多个后代，因为你可以用这个$P$的任意次幂作用。而正是这些家伙生成了这个算符$O$的共形族。它由一个主算符标记。它由主算符的维度标记。它也由主算符的自旋标记，因为原则上你也必须指定这个家伙的自 spins。
然后我说，你有这个二次算符，叫做二次卡西米尔算符，它与共形生成元对易，这意味着如果它在主算符上有某个值，它将在所有后代上有相同的值。对于一个标量主算符，共形卡西米尔值由$\Delta(\Delta-d)$给出，其中$\Delta$是标量的共形维度。
（学生提问关于$\Delta$的直觉）
嗯，它是什么？我能给你什么关于$\Delta$的直觉呢？它是什么？它告诉了我们关于标度算符的什么？嗯，这很简单。它就像，例如，你基本上在看算符的质量维度，如果你愿意的话。所以它告诉你事物在标度变换下是如何变换的。所以每次你加一个导数，你知道导数在你做标度变换时会获得一个标度因子。所以很明显，这就像一个幂次计数的事情。你可以想象某个东西是惰性的，然后你开始加导数，很明显每次你加一个导数，那个东西就会增加一个额外的$\lambda$因子。对于你加的每一个导数。所以它会增加标度维度。所以高维度算符有高的$\Delta$，低维度算符有低的$\Delta$。
非常好。嗯，好的。这就是你如何用这些家伙做一点表示论。还有很多东西。关于共形场论的一个好处是，不像通常复杂的量子场论，共形不变性非常强大。它可以完全固定这些主算符的两点和三点函数。好的。
那么，让我解释一下这是如何运作的。假设我有一个主算符$O(x)$和另一个（原则上可以不同）的$O(y)$。两点函数是什么？我将称两点函数为$F$。它将是$x$和$y$的函数，对吗？$x^\mu$和$y^\mu$。好的。
但现在，假设这些算符是标量，以简化生活。现在我需要有平移不变性。这基本上意味着我的关联函数只能依赖于$x-y$。这里我考虑的是真空，真空本身在共形变换下是不变的。我有旋转不变性，并且这些家伙是标量，这告诉我它只能依赖于$|x-y|$的模长。
现在我将使用标度不变性来实际确定这个$F$必须是什么，因为我知道如果我做$O'(x')$和$O'(y')$，其中$x' = \lambda x, y' = \lambda y$，那么这将是$F(\lambda(x-y))$。但根据定义，它也将是$\lambda^{-\Delta_1 - \Delta_2} \langle O(x)O(y) \rangle$，也就是$\lambda^{-\Delta_1 - \Delta_2} F(x-y)$。换句话说，两点函数必须在标度变换下正确地缩放，因为我把这些家伙取为标度算符。这完全固定了$F(x-y)$必须是：
我只是选择了归一化。现在，我之前提到过，共形不变性比标度不变性更强。到目前为止，我只用了平移、旋转和标度。如果你使用共形不变性，即你额外使用特殊共形变换，那么你会发现实际上你必须有$\Delta_1 = \Delta_2$。好的，所以两点函数只能在具有相同标度维度的算符之间非零。
好的，这是一个事实。好的是，最终的两点函数完全被指定了，形式是$C/|x-y|^{2\Delta}$。归一化由你选择，它完全由这个数字$\Delta$（算符的共形维度）指定。
你可以看三点函数。$O_1(x_1), O_2(x_2), O_3(x_3)$。事实证明，三点函数也完全被固定了。三点函数的$x_{1,2,3}$依赖性也完全被固定了。所以唯一的东西，你将得到一个叫做$C_{123}$的系数。你已经用你的自由度去重新标度算符，把两点函数的系数固定为1。所以现在你没有更多的自由度了。因此这个数字$C_{123}$是有意义的。它是三点函数系数。然后这个时空依赖部分，我想是$|x_1-x_2|^{-\Delta_1-\Delta_2+\Delta_3}$加上置换。所以它的时空依赖性是完全固定的，你只是有一个新的数字，三点函数系数出现了。
这就是为什么CFT比一般的QFT好得多的一个原因，因为这种共形不变性实际上是高度限制性的。我应该强调一个事实，我在这里假设这些家伙是主算符。好的，如果你想得到后代算符的关联函数，你只需在这里作用$P_\mu$。这意味着，例如，如果你想在$O$上作用$P_\mu$，你就在这个表达式上作用一个$x$的导数。
所以后代算符的关联函数完全由主算符的关联函数决定，而主算符的两点和三点函数完全由这些共形维度$\Delta$和三点函数系数$C_{ijk}$固定。有些我没有时间解释的东西，但实际上事实证明，一个CFT中的所有高阶点函数都可以简化为两点和三点函数。所以这些数字实际上完全决定了这个系统的数据。
当然，如果你去看四点函数和更高阶的，四点函数可以有对这四个点通过所谓的共形比（conformal ratio）的非平凡依赖性。
让我说几句关于二维CFT的话，你还记得它们是特殊的，因为出现了那些无穷多的对称性。所以对称性是$x^+ \to f(x^+)$和$x^- \to \bar{f}(x^-)$。
如果你在一个函数基底下工作，比如$x^{+(n+1)}$，那么很容易计算这些矢量的李括号，以及相关的生成元，我将称之为$L_m$，其中$m$是这里的幂次。你从李括号得到$L_m$与$L_n$的对易关系是$(m-n)L_{m+n}$。这被称为Witt代数。这是二维中的经典共形代数。
然而，在量子情况下，你必须更小心。当然，生成元$L_m$是能动量张量的某个分量在空间上的积分。事实证明，在共形场论中，能动量张量是无迹的，在二维和这些零坐标中，这只是说$T_{+-}=0$。而能动量张量的守恒方程只是$\partial_- T_{++} = 0$。所以$T_{++}$只是$x^+$的函数。所以粗略地说，这就是你的生成元的样子，然后你有一些$L$ bar，它们看起来一样，但是用负号。
当你小心计算时，毕竟你是在一个量子场论中，当你计算这个代数时你必须小心，当这两个算符，$T$和来自$L_n$的那个家伙相遇时，因为可能会有一些发散，你需要小心地对算符进行排序。如果你小心地做了，你会发现这个代数，这个经典代数被修正了，它得到了一个中心拓展项：
这里$c$是一个数字，被称为中心荷，它精确地与这个量子反常有关。所以你的经典共形对称性，这个无限维共形对称性，在量子力学中没有被完全遵守。好的，这就是中心荷的意义之一。它实际上有大量的意义。
你看，这个中心拓展项对所有的$m, n$都存在，除了$m, n = 0, \pm 1$。如果你看对应于$L_0$和$L_{\pm 1}$的生成元，它们精确地对应于$so(2, 2)$的生成元。也就是我们讨论过的全局共形生成元，二维的类似物。所以这些被称为全局共形生成元。对于所有其余的$m$，这个中心项是存在的。它是非零的。它所做的是，它不允许你有一个态。比如说你想定义一个真空态。你不能要求那个真空态被所有的$L_n$湮灭，因为$L_m$和$L_{-m}$彼此不对易，除非$m$取这些值（$0, \pm 1$）。
好的。因为这些原因，真空的对称性只是这个全局的$SO(2,2)$部分。但理论的对称性更大，是这个，但你必须考虑到这个中心荷。
（休息五分钟）
最基本的，你能研究的最基本的东西是AdS中的一个量子场与CFT中的一个算符之间的对应关系。我认为重要的是要说，这适用于轻算符。也就是维度为1阶的算符。好的。我也有重算符，非常重的算符。实际上对$\Delta$没有上限。那些家伙将对应于体（bulk）中的其他东西。它们可以是弦态，它们可以是黑洞等等，但我们只看轻的场，或者说维度为1阶的算符。
好的，具体来说，我们看AdS$_{d+1}$中的自由标量场，它满足$\Box \phi = m^2 \phi$。我们选择庞加莱坐标：
这些坐标非常适合看标度对称性，对吧？$x \to \lambda x$和$z \to \lambda z$是等距变换。边界在$z \to 0$处。
在这些坐标中，AdS的拉普拉斯算符看起来像这样：
所以你需要解的方程是：
我们对渐近解感兴趣。所以当$z \to 0$时，我们希望取$\phi(z, x^\mu)$像$z^\Delta$乘以某个$x$的函数。你可以看到所有这些项都是同阶的，但这个不是。所以渐近地，你发现：
好的。然后你逐阶求解方程。在领头阶，这就是你对你放在这里的任意幂次$\Delta$所发现的。清楚我在做什么吗？我只是把这个代入这里。好的。
所以这个方程对$\Delta$有两个解，我将称之为$\Delta_{\pm}$，它们是：
好的，大家都跟着吗？
场在边界附近的展开是这样的：
其中$\Delta_- = d - \Delta_+$。我称那个函数为$\phi_0(x^\mu)$。然后你还有另一个展开，从$z^{\Delta_+}$开始，我将称之为$\langle O_\Delta \rangle(x^\mu)$。
好的。这就是解的结构。现在，为了简单起见，假设$m^2$是正的，那么你看到$\Delta_+$大于$d$而$\Delta_-$小于零。所以在那种情况下，很明显这一项会发散。它是不可归一化的。所以这里我讨论的是$z \to 0$，而可归一化性指的是例如这个场的克莱因-戈登范数。好的。所以这一项发散，这一项趋于零，是可归一化的。
那么我们能做什么呢？很明显，因为这个家伙是不可归一化的，有无穷大的能量，无穷大的范数，我们不能让它涨落。所以我们通常想做的，是把这个家伙设为零，或者有时我们可以让它保持固定，但不允许它涨落。好的，所以这个是固定的，这基本上将是边界条件。而可归一化模式，因为它们带有更高次幂的$z$，它们有有限的范数，有限的能量，它们被允许涨落，我们可以用它们来构建量子场论的希尔伯特空间。
这些家伙是边界条件。它们是固定的。它们不被允许涨落。这些家伙被允许涨落，它们是体中场的模式。
关于这个边界条件，可以更精确一点。你看，人们不是精确地在无穷远处对体场施加狄利克雷边界条件，因为你会看到体场正在发散。所以基本上你想说的是，你想说你的边界条件是：
其中$\Delta = \Delta_+$，$\Delta_- = d - \Delta$。我将称之为重整化边界条件。基本上我们想保持$\phi_0(x)$有限。
现在注意，如果我做一个重新标度，在CFT坐标中做一个标度变换，$x'^\mu = \lambda x^\mu$。在AdS体中，这是$x \to \lambda x$和$z \to \lambda z$。这是对应于标度变换的AdS等距变换。然后当然，体场$\phi$是不变的，因为这只是一个体坐标变换。$\phi'(x', z') = \phi(x, z)$。
但你立刻会看到，因为$z$被标度了，我们有：
以及
$$ \langle O_\Delta \rangle'(x') = \lambda^{\Delta} \langle O_\Delta \rangle(x) $$如果你盯着这个变换，这正是一个维度为$\Delta$的标度算符在标度变换下的变换方式。好的。而如果你看这里，这正是一个维度为$\Delta$的算符的源的变换方式。所以如果我在CFT中写下像$\int d^d x \phi_0(x) O_\Delta(x)$这样的东西，这就是源必须变换的方式。
好的。所以这表明，将体解的这一部分，可归一化部分，的系数与一个边界算符等同起来，并将非可归一化解的系数与边界算符的源等同起来。其中算符的标度维度$\Delta$与体场的质量$m$之间的关系是：
特别地，你看到如果标量的质量为零，那么$\Delta=d$，一个边缘算符。事实证明在AdS中你可以有轻微的快子场。只要$m^2 > -d^2/4$。对于这个，你得到$\Delta < d$。这将是一个相关算符。如果$m^2$是正的，这将是你的大部分场，那么$\Delta > d$，这将是一个无关算符。
这适用于标量。你也可以考虑带自旋的体场，它们将对偶于带自旋的算符。例如，如果你在体中有一个大质量矢量场，那么你将在边界上有一个自旋为1的算符。如果你有一个体规范场，它将对偶于一个边界守恒流，$\Delta=d-1$。而如果你有体无质量自旋为2的场，也就是引力子，它将对偶于什么？引力子对偶于边界上的一个自旋为2的对称守恒流，也就是能动量张量。非常好。
你看到，从我之前的方程$\Delta(\Delta - d) = m^2 L^2$中，你看到共形卡西米尔算符（这是那个标量主算符的共形族的共形卡西米尔值）与体场质量等同起来。
现在我几乎准备好为你写下AdS/CFT字典了。字典采取以下非常简单的形式：
这表明，具有固定边界条件的引力配分函数等于CFT在源$\phi_0$存在时的生成泛函。
你怎么用这个生成泛函呢？你对$\phi_0$取泛函导数。那将带下来这个算符的幂次。然后你取$n$个泛函导数，将带下来$n$个$O$的幂次，然后你把$\phi_0$设为零。所以你将得到那个算符的$n$点关联函数。
正如我在上一讲中声称的，体一侧的配分函数，作为边界条件的函数，等于CFT一侧在源存在时的配分函数。
在体一侧，我们必须计算这个配分函数，但大多数时候人们在经典引力近似下工作。所以你用具有这个边界条件的在壳作用量的指数来近似这个配分函数。所以你将估计具有你的体场的边界条件$\phi_0$的经典在壳作用量，然后计算它，然后如果你想获得全息关联函数，它应该精确地等于CFT关联函数，那么你就计算泛函导数。
在实践中，如果你想实际计算这个，你会看到两边都是发散的，这就是UV/IR联系出现的地方。CFT这边是发散的，因为当你实践中计算东西时，你会发现你必须调节和重整化的UV发散。类似地，在体一侧，因为AdS的无限体积，你会发现IR发散，你必须调节。调节它们的方法通常是通过在$z=\epsilon$处放一个截断，以某种适当的方式减去发散，然后取极限。这个过程被称为全息重整化。
利用我们的自由标量场，我们可以很容易地计算例如两点函数。我们要做什么呢？我们想要……与其计算在壳作用量，计算在壳作用量在源存在时的变分通常是个好主意。原因是在壳作用量的变分，方程为零，你只剩下边界项。现在会发生什么？你将在AdS的边界上评估这个，它会因为$z$小而发散。你将通过$z=\epsilon$来调节，你将分析所有这些发散，然后你可以添加所谓的抵消项。这些抵消项由边界上感应的场$\phi$构成，你可以吸收所有的发散。
在一天结束时，你会发现什么？你可以很容易地计算单点函数。从这里，加上抵消项，你最终发现的是某个积分$\int d^d x \langle O \rangle \phi_0$。这个计算告诉你，全息单点函数，即$\delta S / \delta \phi_0$，精确地是$\langle O_\Delta \rangle$。基本上$\langle O_\Delta \rangle$从这个计算来看，只不过是在源$\phi_0$存在下对偶算符$O_\Delta$的期望值。
在你做了那个之后，你现在可以取这个单点函数并进一步微分它来找到更高阶的点关联函数，然后你可以把$\phi_0$设为零。为了计算例如两点函数，你需要看内部的解，因为解在内部的行为携带了关于态的信息。例如，如果我在真空中，我将有一个光滑的AdS时空，所以我只想看在时空中间光滑的解，这将以某种特定的方式将这个渐近的$\phi_0$和$\langle O_\Delta \rangle$联系起来。如果你在AdS真空中做这个，那么你将发现的，你将精确地找到一个维度为$\Delta$的算符的两点函数，就像我在CFT部分写下的那样。
现在有个问题，正如你在这里看到的，我正在用体中的一个自由场来模拟这个维度为$\Delta$的算符，它是一个非常强耦合的CFT中的算符。我们看到$\Delta$不必须是自由维度，它可以是任何东西。但当然，体中的一个自由场也有非常特殊形式的关联函数，因为关联函数因子化了。为什么这是模拟对偶理论，也就是一个非常高度强耦合的CFT的关联函数的正确方法？
（学生回答）“这和N很大有关吗？”
完全正确。非常好。好的。是的。这正是与N很大有关。所以这里重要的是，例如在超杨-米尔斯例子中，它是一个SU(N)规范理论。如果我们想看CFT中的算符，它们必须是规范理论中的规范不变算符。所以它们可以是例如场强的迹，$\text{Tr}(F^k)$。这被称为单迹算符。如果你考虑乘这种类型的算符，你将得到一个多迹算符。
对于这种对应关系要成立，这个SU(N)规范理论有一个好的大N极限，也就是所谓的't Hooft极限，是很重要的。你取$N \to \infty$，同时't Hooft耦合$\lambda = g_{YM}^2 N$固定。你可以证明，当你观察理论中这些单迹算符的关联函数时，高阶点函数相对于低阶点函数被$1/N$的因子压低了。好的。所以在某种意义上，$1/N$是一个微扰参数。基本上，从这个意义上说，这个大N规范理论是弱耦合的。这就是为什么我们可以用弱耦合的体场，标量场来模拟这个，然后我们可以包含微扰的体相互作用，但所有这些都将被$1/N$压低，这就是为什么微扰展开是有效的。
我今天要讲的内容中，有一个对TTbar最终很重要的东西是边界条件的重要性。另一个我技术上需要的，是单迹和多迹算符之间的区别以及它们在AdS/CFT中的解释。
所以在这节课剩下的时间里，我想谈谈改变边界条件。
到目前为止我谈到的，适用于所谓的标准量子化。标准量子化意味着你保持$z^{\Delta_-}$的系数固定，让$z^{\Delta_+}$的系数涨落。这就是你如何做你的字典。如果质量足够大，这是你唯一的选择。
现在你看到，正如我所说，在AdS中体场可以有$m^2 < 0$，它可以小到$-d^2/4$。但在那种情况下，维度是$d/2$。所以在标准量子化中，你可以模拟维度$\Delta \ge d/2$的算符。然而，正如我在这部分开始时提到的，原则上CFT（一个幺正的CFT）可以有算符，但CFT的幺正性界限是$\Delta \ge d/2 - 1$。好的，所以原则上CFT可以一直到这个维度的算符，你根本不知道如何用这个在全息中模拟它。
你如何模拟可能具有在$d/2-1$和$d/2$之间维度的CFT算符呢？这对应于一个质量范围。事实证明，当质量在这个范围内时，实际上你可以选择任何一个模式是可归一化的。所以这取决于你。你可以稍微玩弄一下范数，但你要么让这个是可归一化的，要么让那个是可归一化的。好的。
所以在那个范围内，由你来选择你保持哪个系数固定。一旦你选择了你保持哪个固定，另一个就在涨落，反之亦然。所以如果你选择保持$\Delta_+$的系数固定，让$\Delta_-$的系数涨落，这被称为替换量子化。我重复一遍，这只可能在这个非常小的质量范围内。而对偶算符的维度，基本上是$\Delta_-$。
所以这就是你如何在这个质量范围内在AdS/CFT中实现这些算符。
这也向你展示了一些非常美妙的东西，因为在这里你看到我有了完全相同的体理论，我没有改变作用量，我唯一改变的是场$\phi$的边界条件。所以不是固定这个模式，我正在固定那个模式，我得到了一个完全不同的算符，一个完全不同维度的算符。所以仅仅改变边界条件实际上可以改变你的对偶理论的谱。
现在我想问的问题是，如果我给CFT作用量添加一个多迹算符，AdS字典会发生什么？
我想考虑一个理论，我用一个多迹算符来形变它：
其中$O$是一个单迹算符。如果$F$是多于线性的多项式，这将是作用量的多迹形变。
我想向你展示，在大N下，我实际上可以把这个多迹形变理论中的生成泛函用未形变理论中源被移动了的生成泛函来重新表达。这是一个纯粹的场论操作，与引力无关。它只使用场论和N很大。
经过一些场论操作，利用鞍点近似，我发现形变理论中关联函数的生成泛函，在源$J_\lambda$存在的情况下，等于未形变理论中，在源为$J_\lambda + F'(\langle O \rangle)$的情况下，的生成泛函，再减去一个勒让德变换项。
这是一个纯粹的场论，大N场论的论证。
现在如果我想得到我所做的事情的引力解释，我可以直接使用未形变理论的全息字典。我知道未形变理论中的源$J_0$全息地对应于$z^{d-\Delta}$的系数$\phi_0$。而在形变理论中，算符$O$的期望值$\langle O \rangle$对应于$z^{\Delta}$的系数$\phi_\Delta$。
所以当我添加这个双迹形变时我在做什么？在双迹形变中，我的源是$J_\lambda$。因为我的源是$J_\lambda$，这就是边界条件。这是我想要保持固定的东西。这意味着，我想说把这个家伙设为零。所以在我的体解中：
我基本上将保持线性组合$\phi_0 - \lambda \phi_\Delta$固定。因为从这里我看到，这精确地对应于这个$J_\lambda$，它应该是我形变理论中的源。我应该保持物理源固定。所以这将是我的体场上的边界条件。但$\phi_0$和$\phi_\Delta$中的每一个都被允许涨落，因为我需要有一些模式。所以基本上，这个东西，其中两个家伙的系数以这种相关的方式一起涨落，被称为混合边界条件。
所以现在你知道了，如果你开始给你的CFT添加多迹形变，这就是会发生的事情。在最初的Witten的论文中，他展示了你可以用这个双迹算符从诺伊曼边界条件流到狄利克雷边界条件。所以基本上你可以用这个多迹算符从一个边界条件流到另一个。
好的，现在是总结我在这次讲座中讨论的内容的好时机。
在这次讲座中，我们讨论了对于维度为1阶的小算符的基本AdS/CFT字典。我们看到边界上的算符对偶于体中的量子场。它们有相同的自旋。算符的维度$\Delta$映射到体场的质量$m$。但是这个映射，对于足够小的$m$，$\Delta$和$m$之间的精确映射可以依赖于你设置的边界条件，如果你设置标准或替换边界条件的话。
然后我们讨论了一个事实，即这些系数中的一个，通常是$z^{d-\Delta}$的系数，是对偶算符的源，而另一个系数是期望值。
然后我们还讨论了边界CFT的多迹形变，通过这个论证——首先是场论操作，然后只是在未形变全息字典的层面上使用这个家伙——对应于对偶体场的混合边界条件，意味着这些家伙以一种相关的方式一起涨落，这种方式是精心设计的，使得这个对象，也就是形变理论中的源，是固定的。
好的。我想就这样了。所以下次我猜我将不得不讲渐近对称性、BTZ和TTbar，并希望以一些……结束。
有什么问题吗？